Cinderella > Fórum > Texto Básico 4.i - O Postulado das Paralelas > ficheiro 'O Postulado das Paralelas.htm'

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4.1 Teorema. Duas rectas distintas, ambas perpendiculares a uma terceira recta, são paralelas.

Demonstração: Sejam s e t duas rectas distintas, ambas perpendiculares à recta r. Se s e t não fossem paralelas, seriam concorrentes, o que nos permitiria considerar um triângulo com dois ângulos rectos.

Como sabemos, nenhum triângulo tem dois ângulos rectos (Corolário 3.3). Portanto, as duas rectas são paralelas. QED

4.2 Teorema. Por um ponto exterior a uma recta passa pelo menos uma recta paralela à recta dada.

Demonstração: Sejam r uma recta e P um ponto tal que r não passa por P.

Seja s a recta perpendicular a r que passa por P e seja t a recta perpendicular a s que passa por P. Pelo teorema anterior, as rectas t e r são paralelas.

Portanto, a recta t passa pelo ponto P e é paralela à recta r. QED

4.3 Definição. Uma recta t diz-se secante às rectas r e s se t intersecta r e s em pontos distintos.

Neste caso dizemos que as rectas r e s são cortadas pela secante t.

4.4 Definição.Ângulos determinados em duas rectas por uma secante:

ângulos externos: a, b, g e h.

ângulos externos do mesmo lado da secante: a e h ; b e g.

ângulos alternos externos: a e g ; b e h.

ângulos internos: c, d, e, f.

ângulos internos do mesmo lado da secante: d e e ; c e f.

ângulos alternos internos: c e e ; d e f.

ângulos correspondentes: a e e ; b e f ; c e g ; d e h.

4.5 Teorema. Se são congruentes dois ângulos alternos internos determinados em duas rectas por uma secante, então as duas rectas são paralelas.

Demonstração: Sejam r e s duas rectas cortadas pela secante t nos pontos P e Q, respectivamente.

Suponhamos que as rectas r e s não são paralelas mas sim concorrentes. Seja R o ponto de intersecção das rectas r e s.

Os ângulos c e e representados na figura são alternos internos.

Relativamente ao triângulo PQR, o ângulo c é externo e o ângulo e é interno.

Pelo Teorema do Ângulo Externo tem-se que m(ângulo c) > m(ângulo e), o que contradiz a hipótese. Portanto as rectas r e s são paralelas. QED

4.7 Teorema. Se são congruentes dois ângulos correspondentes determinados em duas rectas por uma secante, então as duas rectas são paralelas.

As recíprocas dos dois teoremas anteriores são também verdadeiras. No entanto, para as demonstrar precisamos do

Postulado 13 (Postulado das Paralelas). Por um ponto exterior a uma recta passa uma única recta paralela à recta dada.

Teorema. Se duas rectas são paralelas, então são congruentes os ângulos alternos internos determinados por uma secante.

Demonstração: Sejam r e s duas rectas paralelas cortadas pela secante t nos pontos P e Q, respectivamente.

Seja A um ponto da recta r, como representado na figura. Suponhamos que os ângulos alternos internos APQ e e não são congruentes.

Seja B um ponto que não está na recta r e tal que os ângulos alternos internos BPQ e e determinados nas rectas BP e s pela secante t, são congruentes. Então, pelo Teorema 4.5, as rectas BP e s são paralelas.

Assim, as rectas distintas BP e r passam ambas por P e são ambas paralelas à recta s, o que contradiz o Postulado das Paralelas.

Portanto, os ângulos alternos internos APQ e e são congruentes. QED

4.9 Teorema.

1. Se duas rectas são paralelas, então são congruentes os ângulos correspondentes determinados por uma secante.
2. Duas rectas distintas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
3. Se uma recta é perpendicular a uma de duas rectas paralelas então é perpendicular à outra.

4.10 Teorema. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Demonstração: Consideremos o triângulo ABC e a recta paralela ao lado BC que passa no vértice A. Consideremos os ângulos b e c representados na figura

Pelos Postulados da Adição de Ângulos e do Suplemento tem-se que m(ângulo A)+ m(ângulo b)+ m(ângulo c)=180º.

Os ângulos b e B são ângulos alternos internos determinados pelas rectas paralelas r e BC, cortadas pela secante AB.

Os ângulos c e C são também ângulos alternos internos determinados pelas rectas paralelas r e BC, cortadas pela secante AC.

Como são congruentes os ângulos alternos internos determinados por duas rectas paralelas cortadas por uma secante, tem-se que os ângulos b e B são congruentes, assim como os ângulos c e C.

Portanto, m(ângulo A)+ m(ângulo B)+ m(ângulo C)=180º. QED

4.11 Corolário.

1. Quando está definida uma correspondência entre dois triângulos, se dois pares de ângulos correspondentes são formados por ângulos congruentes então o terceiro par de ângulos correspondentes é também formado por ângulos congruentes.
2. Os ângulos agudos de um triângulo rectângulo são complementares.

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3. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.

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